Lineární regrese funguje!

Pro normálně fungující podnik moc matematiky opravdu nepotřebujete. Většina vztahů je přímočarých. Tentokrát to myslím doslovně. Vzájemná závislost vypadá v grafu jako přímá čára, z matematického hlediska jde o lineární funkci. Jsou-li dvě veličiny mezi sebou svázány takovou závislostí, lze vypočítat hodnotu jedné z nich (závisle proměnné, označme ji y) pomocí druhé (nezávisle proměnné, kterou označíme x) podle vzorce y = A*x + B. Konstanty A, B bezezbytku popisují vztah obou proměnných: Čím větší A, tím větší je dopad změny proměnné x na proměnnou y a tím rychleji roste y, pokud roste x. Čím větší B, tím vyšší hodnotu nabývá proměnná y při x = 0; toto číslo pak představuje stálou část hodnoty y, uplatňující se vedle části druhé, která je výše popsaným způsobem svázaná s hodnotou x.

Příklady:

• Měsíční náklad spotřebované elektrické energie je reprezentován stálou částkou B (za elektřinu na svícení, klimatizaci, vytápění, která se – pomineme-li možné rozdíly v délce dne a venkovní teplotě – v měsíčních fakturách nijak podstatně nemění) a dále určitou hodnotou A, utracenou ve zhruba stejném rozsahu na každou hodinu, kdy běží výrobní linka. Výsledek? Běží-li linka v měsíci x hodin, pak y = A*x + B.
• Pomineme-li, že reálný podnik se nechová úplně tak, jak popisuje diagram bodu zvratu, pak lze celkové provozní náklady firmy rozložit na část B, tvořenou náklady fixními, a také stálou částí nákladů smíšených (tyto náklady jsou částečně fixní a částečně variabilní, příkladem je výše zmíněná spotřeba elektřiny), a část A*x, tvořenou výkonově závislými zbytky smíšených nákladů (Ai *x) společně s náklady variabilními.
• Hodnota podnikových zásob má svoji stálou část B, reprezentovanou položkami, které se spotřebovávají nezávisle na objemu produkce (sem patří i „ležáky", které se nespotřebovávají vůbec) a zároveň s výkonem svázanou část A*x, která je víceméně přímo úměrná produkci x (aktuálního nebo následujícího období, podle toho, s jakým předstihem se nakupuje a jak dlouho trvá produkce) – jde o produktové vstupy, rozpracovanou produkci i zásobu hotových produktů.
• Obdobně se chová má hodnota pohledávek provozního charakteru: část B pochází z pravidelných výnosů, pokud vůbec existují, a samozřejmě i z nedobytných pohledávek, část A*x přísluší běžné fakturaci za prodanou produkci.
• V případě provozních závazků je situace obdobná: část B vzniká z nákupu, který odpovídá fixně spotřebovaným vstupům, tedy fixním nákladům, (nejspíš včetně velké části osobních nákladů), a také z pravidelných platebních povinností typu záloh na daň z příjmu (platí jen v rámci příslušného období, na které je záloha vyměřena). Část A*x pochází z nákupu produktových vstupů – i zde platí poznámka ohledně časového posunu, uvedená u zásob.

Všechny výše zmíněné vztahy platit mohou, ale taky nemusí – záleží na tom, jak moc „normálně" podnik právě funguje. Jediná realizovaná investice, vymykající se obvyklému rozsahu obnovy, může prakticky všechny zmíněné hodnoty y podstatně „rozhodit". Právě odtud ostatně pramenila až donedávna moje skepse ohledně aplikace matematiky pro tento případ – a vida, ono to přesto někdy jde!

Dále uvedené příklady jsou autentické – v tom je jejich hlavní důkazní síla. S výjimkou analýzy spotřeby elektrické energie dokonce pocházejí z jednoho podniku, prvního, který jsem takto komplexně testoval. Čísla jsou pochopitelně anonymizovaná. K potvrzení hypotézy o jednoduché lineární závislosti byla použita excelovská funkce LINREGRESE, která sice vypadá na první pohled komplikovaně (způsob jejího použití najdete v helpu MS Excel), ale nakonec vás docela příjemně překvapí. Doporučuji požít nejjednodušší formát, jak je popsán ve vzorových příkladech nápovědy. Tahle funkce provádí matematický postup, zvaný „lineární regrese" – vyhledá taková čísla A, B, která nejlépe (pochopitelně ne úplně přesně, ale s nejmenšími odchylkami) vystihují lineární závislost dvou veličin, jejichž dvojice hodnot uvedete do vstupní tabulky (půjde vlastně o dvě řady skutečně změřených hodnot pro pokud možno co největší počet období „normálního fungování" podniku).

Dostanete-li výsledek – jedinou dvojici konstant A a B, můžete pro každé „x" v minulosti vašeho podniku spočítat „ideální dvojče" k jemu příslušnému, v původní tabulce uvedenému „y". Vynesete-li hodnoty obou typů dvojic (x a původní y, x a nové y) do grafu (vodorovná osa – proměnná x: podnikové tržby, hodiny práce linky apod., svislá osa – závisle proměnná y: hodnota spotřeby, zásob, pohledávek, závazků), budou dvojice s novými ypsilony ležet na „božsky vyhlazené" přímce. Pozor – nejde o běžný graf, ve kterém je na vodorovné ose čas, a nejde ani o žádnou čáru znázorňující časový průběh zleva doprava. Dva blízké body mohou klidně reprezentovat časově velmi vzdálená období! V excelovském výběru musíte zvolit variantu grafu „XY bodový". Vzdálenost bodů z původních dvojic, tedy dat „z reálného světa", které jsou na dále uvedených obrázcích vyznačeny hnědou barvou, od svých „božských ideálů" – na obrázcích modře – pak vyřkne definitivní soud, nakolik jsou získané hodnoty A, B vhodné mj. třeba k předpovědi y pro forecastovanou hodnotu x.

Nyní již k samotným výsledkům na obr. 1 - 6: Hodnota A – v grafech sklon přímky, spojující modré body – představuje jakýsi doporučený „koeficient variability" (čím vyšší, tím přímka stoupá s rostoucím x rychleji), použitelný třeba pro očištění nezaviněné (výkonem zdůvodnitelné) odchylky při vyhodnocování rozpočtů. Hodnota B, v grafech vyznačená na svislé ose, se pak snaží uhodnout „stálou porci" v reportovaných proměnných hodnotách. Ve shodě s předchozími příklady pokazuje třeba na množství fixních nákladů a po jistém očištění také na aktuální úroveň ležáků nebo nedobytných pohledávek.

Obr. 1: Provozní náklady v závislosti na tržbách za osm posledních kvartálů. Žluté číslo představuje odhad velikosti fixní složky.

Obr. 2: Úroveň zásob v závislosti na tržbách za roky 2014–2019.

Obr. 3: Úroveň pohledávek v závislosti na tržbách za roky 2014–2019.

Obr. 4: Úroveň závazků v závislosti na tržbách za roky 2011–2016. V letech 2017–2018 došlo ke změně v provádění úhrad, data nebyla využita.

Obr. 5 Problém: spotřeba elektřiny v závislosti na produkci za jednotlivé měsíce, zatím bez použití regrese. Vyhlídky na „božskou přímku" nebyly nejlepší.

Obr. 6 Zlepšení: lineární regrese byla provedena samostatně pro data 2017 a 2018 (jak se ukázalo, pro rok 2018 byla nasmlouvána výrazně jiná nákupní cena). Navíc došlo k vyřazení vždy dvou největších extrémů v jednotlivých letech (zakroužkováno) – podobně jako se škrtá v hodnocení krasobruslařů (faktury za tato období nebyly úplně „normální" – došlo mj. k posunům v intervalu zúčtování).